同次の意味 - DOSEIの日記

同次（どうじ）もしくは斉次（せいじ。さいじではない）、英語では homogeneous （同じ種類の）というのがつく数学用語がいくつかある。この、「次」は、次元 (dimension) とか次数 (order or degree) とかと関係がありそうでなさそうでどっちだかよくわからない。

ある定数 $n$ に対して

$f(tx, ty, \ldots) = t^n(x, y, ...)$

を満たす関数 $f(x, y, \ldots)$ 。つまり、変数のスケーリングが関数の値として均質に作用するもの。

すべての項の次数 (degree) が等しいもの。これは「同次」って言葉がぴったりだ。
たとえば、 x^3 + xy^2 + xyz など。これは、同次関数ともみれる。対称式 (symmetric polynomial) なら必ず同次。

線型常微分方程式のうち定数項がないもの。

$\sum_i a_i(x) \frac{\mathrm{d}^iy}{\mathrm{d}x^i} = 0$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F\left(\frac{y}{x}\right)$

と書けるもの。前述のと混同して使われる用語らしい。

たとえば R^2 の座標 (x, y) に対する同次座標 [X, Y, W] は

x = X/W
y = Y/W

を満たす。つまり、同次座標の定数倍に対して同じ点をあらわす。