直線のパラメタ空間

平面上の直線

平面 R² 上の直線は,

ax + by + c = 0

とかける. これを P² 上で考えれば, x := [x, y, w]^⊤, l^⊤ := [a, b, c] とすると,

l^⊤ x = 0

とかけるので, 点と直線の双対性を示す式になる.

空間上の直線

R³ 上では, 平面と点に関して同様な性質が成り立つが, 直線ではうまく行かない. というか, 空間直線は平面のように1本の線型な式では書けない. つまり, 射影空間で双対性が発揮できるのは, 点と超平面の間だけである。（ほんとかな）

Plücker 座標 (プリュッカー–)

そこで登場するのが, Plücker 座標だ. または Graßmann 座標という。
R³ 上の 2 点 p₁, p₂ にたいして, p₁, p₂ を通る直線の Plücker 座標 l^⊤ は,

l^⊤ = [(p₂ − p₁)^⊤,   (p₁ × p₂)^⊤]

という P⁵ の点である. (最初の引き算の順番を逆に定義してもいい)

直線は 6 パラメタ (up to scale) で表されるので, 6 要素の同次座標で表されるのは納得できるだろう。で、空間のすべての直線から P⁵ への写像は単射だが全射ではない。その像は、 P⁵ 上の2次超曲面 (quadric hypersurface) になっている。