リーマン多様体上の勾配の定義

リーマン多様体上で定義される grad f の動機がよくわからなかったのでいろいろ調べたら、以下の記事で説明されていたので、自分なりにまとめた。

• Div, grad, and all that—on a Riemannian manifold | Climbing Mount Bourbaki

定義

リーマン多様体 (M, g) 上の関数 f : M→ℝ に対して, 勾配 grad f は、任意の点 p∈M, v∈T_pM に対して

⟨(grad f)_p, v⟩_p = vf_p

を満たすものとして定義する。ここで、 ⟨•,•⟩ は g が定める内積で、 vf は v 方向の方向微分。 写像としては、 grad f : M→TM; p↦(grad f)_p∈T_pM である。 *1

ベクトル場 X に対して書くと、

⟨grad f, X⟩ = Xf

を満たすベクトル場が grad f である。

何故か

ユークリッド空間で勾配はデカルト座標の基底で

grad f(x) = ∑ (∂_xif)e_i

と定義された。
この勾配というベクトルを特徴づける性質として、内積 (grad f)⋅v が ｖ方向の方向微分になる。
これを、リーマン多様体上のリーマン計量で定義することにすればよい。

なお、ベクトル解析では、このユークリッド空間での定義を、微分演算子として形式的に ∇ := (∂_xi)_i^⊤ のスカラ倍で grad f := ∇f と書く。

書き換え

スカラ関数 f の微分写像 df_p は、 T_pM→Tℝ の線型写像だが、 ℝ の接空間は ℝ に同一視されるので、 df_p : T_pM→ℝ で、 df_p(v) = vf_p が成り立つ。(ベクトル場 X にたいしては df(X) = Xf)
df_p は一形式で、 T_pM の双対空間 (余接空間) の元である, つまり df_p∈T_p^*M。 T_pM↔T_p^*M の自然な同型写像が g で定まり、 df_p に対して (df_p)^*∈T_pM が対応する。よって、

⟨grad f, v⟩ = df_p(v) = ⟨(df_p)^*, v⟩

となり、

(grad f)_p = (df_p)^*

と書ける。本によってはこれを定義としている。
局所座標では、

grad f = g^ij(∂_if)∂_j (= g^ij(∂_jf)∂_i) (総和規約)

次回予告

ヘシアンの定義はなぜあんなんなのか。

*1:こういう、始域によって終域が変わるものは、表現しづらいが、代数的位相幾何の言葉では、こういうベクトル場を「接束の切断」って表現している。