3 次対称群 (Symmetric Group of Degree 3) S3
定義
- 3 つ元に対する置換作用の全体 S3 = { 1, r, l, s, t, u } (位数 6(=3P3))
- (1 2 3) → (1 2 3) : 1 (単位元)
- (1 2 3) → (3 1 2) : (1 2 3) =: r (右巡回)
- (1 2 3) → (2 3 1) : (1 3 2) =: l (左巡回)
- (1 2 3) → (1 3 2) : (2 3) =: s (1 を固定)
- (1 2 3) → (3 2 1) : (1 3) =: t (2 を固定)
- (1 2 3) → (2 1 3) : (1 2) =: u (3 を固定)
- 作用される要素（つまり並び替えをされる集合）を指定して（上の場合は、 M = { 1, 2, 3 } ） SM, Sym(M) とも書く。
- M は { い, ろ, は } でも, { ○, □, △ } でも何でもいいが, { 1, 2, 3 } に自然に同一視できる。
- 一般に対称群の部分群は置換群 (permutation group) という。つまり、すべての置換が成す置換群が対称群である。置換群という場合には、真部分群に限ることが普通らしい。
乗積表 (Cayley table)
| 1 | r | l | s | t | u | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | r | l | s | t | u |
| r | r | l | 1 | u | s | t |
| l | l | 1 | r | t | u | s |
| s | s | t | u | 1 | r | l |
| t | t | u | s | l | 1 | r |
| u | u | s | t | r | l | 1 |
逆元
| 元 | 1 | r | l | s | t | u |
|---|---|---|---|---|---|---|
| その逆元 | 1 | l | r | s | t | u |
性質
生成元 (元は定義の順に対応)
- ⟨ t, u ⟩ = { 1, tu, ut, utu, t, u }
- ⟨ u, s ⟩ = { 1, us, su, s, usu, u }
- ⟨ r, s ⟩ = { 1, r, r2, s, sr, sr2 }
置換の符号
元の位数
- ⟨ 1 ⟩ = { 1 } なので 1
- ⟨ r ⟩ = { 1, r, l } なので 3
- ⟨ l ⟩ = { 1, l, r } なので 3
- ⟨ s ⟩ = { 1, s } なので 2
- ⟨ t ⟩ = { 1, t } なので 2
- ⟨ u ⟩ = { 1, u } なので 2
共役関係: 以下の共役類によって類別される
- 共役類
- { 1 }
- { r, l }
- r = sls−1 (長さ 3 の巡回置換)
- {s, t, u }
- s = utu−1 = tut−1 (長さ 2 の巡回置換)
中心
任意の元に対して可換な元。このような元は自己共役である。
中心化群 (centralizer. センタライザじゃないよ)
ある要素 g に対して、可換な元の集合 CS3(g)。または部分集合 S (⊂ S3) に対して、 CS3(S) とかく。 (以下、 S3 を省略)
中心の定義との違いに注意。
- C(1) = S3
- C(r) = { 1, r, l }
- 1r1−1 = rrr−1 = lrl−1 = r
- つまり、 r を共役によって不変にするもの。 共役に関する r の固定部分群。
- C(l) = { 1, r, l }
- C(s) = { 1, s }
- C(t) = { 1, t }
- C(u) = { 1, u }
- 以上、どの元の場合も、中心化群の位数と共役類の位数の積は|S3| = 6 と等しい。
- C({ r, l }) = { 1, r, l }
- C({ r, s }) = { 1 }
- C(S3) = { 1 }
- 自分自身の中心化群は、中心ということ
