回転行列の表現

OpenCV や Octave (id:DOSEI:20070709:p1) などで、データ量を削減するために、回転軸を表す単位ベクトル u と、回転量 θ を一つのベクトル r:=θu で表現することがよくある。しかし、結局これを分解して計算するので、意味ないなぁと思っていたのだが、論文を読んでたら、次の式を見つけた。
u 軸周り θ 回転の回転行列 R∈SO(3) は、

R = exp([r]_×),   r:=θu

とかけるらしい。_× は歪対称行列を作る演算子 (→id:DOSEI:20060512:p1)。一般に歪対称行列のエクスポーネンシャルは回転行列である。たしかに、2次元の回転と exp が密接に関わってるから、3次元でも…なんて、ぜんぜん思いつかなかったけど。_× で外積を行列の積に表現できることで、エピポーラ幾何で大いに役立つし、高次元の外積の自然な拡張が得られるし、回転行列の解釈もアップするし、いいこと尽くめだな。

リー環とかリー群と関連してる話らしい。勉強せねばな。