続・双曲線

前回トラックバックをもらって、双曲線はどうも互いに相似じゃないような、という話。ま、直感的にそうだけどね（と、放物線が全然直感的ではないのがあれですが）。
では、次のような双曲線（の片方）があったとする。

 x = a sinh(u)
 y = b cosh(u)

異なるパラメタ a, b の双曲線が互いに相似である必要十分条件はなんだろうか。なお、このグラフは直線 y = ±b⁄a に漸近する。

…と、クイズ形式にして、誰かの答えを待ってみる（誰も答えないか…