DOSEIの日記

技術メモ+日常ログ

球面上の偏微分方程式

球面座標では、極があるため方程式を解くには工夫が必要になる。複数の性質の良い座標を貼り合わせる手法がよくつかわれるが、別の方法として、デカルト座標系に埋め込んで解くというものがある。地球物理の分野で shallow water equation (日本語では、浅水流方程式というらしい。サンスイリュウ?) という典型的な問題があり、その手法として開発されたものである。

後者は一般論を言っているように見えるが、よんだ限り、 shallow water に特化してるような気もする。

とにかく、この手法の味噌は、解となる球面上のベクトル場 (u, v) に半径方向の変数 w を導入して、球面座標から xyz 座標に書き換えるのだが、このとき球面上での w 方向の速度が 0 になるようにうまく作ることができて、あらかじめ球面上の x, y, z などの接平面に射影した勾配を求めることができると仮定すれば、球面上の点について解くことで、元の球面上の方程式を解いたのと同じ解を得るというもの。後半では、球面上の勾配の近似計算について述べている。

つーことは、これを球面上のオプティカルフロー計算に応用すれば、なかなか面白いのではなかろうか。