平行投影と透視投影

原点に向かって, 平面 z = 1 に投影することを考える.
以下, 環境によってうまくも字が出ないかも.

ℝ³ ⟶ ℝ²; [x, y, z]^⊤ ↦ [x⁄z, y⁄z]^⊤

ただし, z ≤ 0 の点は投影しない.

同次化して

ℙ³ ⟶ ℙ²; [x₁⁄x₄, x₂⁄x₄, x₃⁄x₄, 1]^⊤ ↦ [(x₁⁄x₄)⁄(x₃⁄x₄), (x₂⁄x₄)⁄(x₃⁄x₄), 1]^⊤

整理すると

[x₁, x₂, x₃, x₄]^⊤ ↦ [x₁, x₂, x₃]^⊤

つまり, 射影空間から射影平面への透視投影は, x₄ を無視するだけ.
この変換を行列で書けば以下のような 4×3 の行列となる.

$\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$

ℝ³ ⟶ ℝ²; [x, y, z]^⊤ ↦ [x, y]^⊤

ただし, z ≤ 0 の点は投影しない.

同次化して

ℙ³ ⟶ ℙ²; [x₁ ⁄ x₄, x₂ ⁄ x₄, x₃ ⁄ x₄, 1]^⊤ ↦ [x₁ ⁄ x₄, x₂ ⁄ x₄, 1]^⊤

整理すると

[x₁, x₂, x₃, x₄]^⊤ ↦ [x₁, x₂, x₄]^⊤

つまり, 射影空間から射影平面への平行投影は, x₃ を無視するだけ.
この変換を行列で書けば以下のような 4×3 の行列となる.

$\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

DOSEIの日記