DOSEIの日記

技術メモ+日常ログ

数学

6章 特別な数

スターリング数とか. 調和数と,カードのずらしがさねの関係. Zeta 関数は,高階調和数の極限 Euler の定数 γ = 0.5772156649... Bernoulli 数. 三角関数,双曲線関数との関連. Fibonacci 数. 黄金比,連分多項式との関連

有限生成でないイデアル

環 R の部分集合 M の R 上の線型和はイデアルなのはどの本にも載ってるが ( (M) とか 〈M〉 で表す)、その逆は成り立たない。上の形で書けるイデアルを有限生成という。じゃあ有限生成でないイデアルとはたとえばどういうものがあるのか? それって無限生成…

5. 二項係数

(n; k) ←縦に並べる (n; k) = rk⁄k! 「このようなわなによって人生が冒険に満ちたものになる」(p.152) 和の本体 summand. operand のアナロジ n 項係数 (a1+…+an; a1, …, an) Vandermonde's convolution mCn は呪わしい記法 部分階乗 (撹乱数) n¡ 母関数. [z…

3 次対称群 (Symmetric Group of Degree 3) S3

定義 3 つ元に対する置換作用の全体 S3 = { 1, r, l, s, t, u } (位数 6(=3P3)) (1 2 3) → (1 2 3) : 1 (単位元) (1 2 3) → (3 1 2) : (1 2 3) =: r (右巡回) (1 2 3) → (2 3 1) : (1 3 2) =: l (左巡回) (1 2 3) → (1 3 2) : (2 3) =: s (1 を固定) (1 2 3)…

でない例

数学系の本では、ある定義に対する「〜である例」は書かれていても、「〜でない例」は大概載ってない。でも、理解するには後者の方が大事な気がする。それにより、概念理解がより明確になるのではないだろうか。

4. 整数論

バックスラッシュにしたのは、割っているように見えるから。イイ考えだ。 欄外に、「日本の教科書では gcm (greatest common major) という言葉を用いていることが多い」ってかいてあるけど。そうかぁ?初耳。 Wikipedia では、 major じゃなくて、measure …

コンピュータの数学 3. 整数関数

切り上げ関数 = 床関数, 切り下げ関数 = 天井関数. これも Iverson 考案らしい. ")あいた(" は、原著では ")open(" かな. 来週は壁 小数部 (fractional part) {x} 水準5. 本当の数学とは, 面白い性質 P(x) を求めること. a\b は, よく a|b と書かれる記号. a…

Fractional Calculus

微分の階数を整数から有理数に一般化したものを非整数階微分とか分数階微分 (fractional derivatives) というらしい。負の階数が積分となる。定義にはガンマ関数が使われる*1。特に 1⁄2 階の微分を半微分 (semiderivative) という。 Fractional Calculus -- …

コンピュータの数学 2. 和の計算

シグマ記法…って、日本で呼ぶっけ? フーリエが考えたらしい。フランス人なのにギリシャ文字かよ。 この記号は1000回以上登場予定。 [a] は a の真偽で 1 or 0 を表す。 Iverson の記法。シグマの変形が容易になる 調和数の由来はヴァイオリン 平方数の和 □n…

コンピュータの数学 1. 漸化式の問題

ハノイの塔。 一般化のしすぎはよくないが、メリットはより小さい場合を考察できること。幸運に頼らず、漸化式を解く = 帰納的飛躍をしない閉じた式を見つける。既存の演算で閉じた式が得られず、重要な問題ならば、演算を追加して、閉じた式とする。(ギリシ…

ねじれの位置にある2直線 (平行でなく交差しない空間の2直線)

Skew Lines -- from Wolfram MathWorld Skew lines または agonic *1 lines という.この 2 直線の最短距離や 2 直線から最短等距離の点を求める方法は…。後者は、前者を与える間の線の中点だろう。交差する2直線の場合も成り立つような一般化であるべきだ。……

quadratic, cubic

Quadratic -- from Wolfram MathWorld 数学で quadratic は、 4 を表さない。もともとラテン語の quadratum が平方 (square) の意味なので, x^2 を含む 2 次式を quadratic equation と呼ぶようになった. したがって, quadratic surface は 2 次曲面である.3…

変換群入門

古い書籍だが、英語版と日本語版が PDF で公開されている. Transformation Groups in Algebra, Geometry and Calculus 以下, リード部分の和訳 この本は, 私が 1983-86 年に B.D.Chebotarevsky と書き, 1988 年に "Ot ornamentov do differencialnyh uravnen…

同次の意味

同次(どうじ)もしくは斉次(せいじ。さいじではない)、英語では homogeneous (同じ種類の)というのがつく数学用語がいくつかある。この、「次」は、次元 (dimension) とか次数 (order or degree) とかと関係がありそうでなさそうでどっちだかよくわから…

GSL で横長行列の SVD

GSL の gsl_linalg_SV_decomp() は正方行列か縦長行列しか受け付けない。 横長行列の零空間を求めるには, 正方行列になるように 0 で埋めればいい。 関連 id:DOSEI:20061229:p1 id:DOSEI:20060511:p2

ガロア体上の対数 (Logarithm table of the finite filed)

Zech's logarithm - Wikipedia

Givens Rotation (Transform)

ギブンズ変換とは要するに2次元の回転。 MathWorld では Jacobi の回転行列として紹介されている。 Jacobi Rotation Matrix -- from Wolfram MathWorld n 次元空間のある2つの次元に関する回転を行う n次の回転行列。んだけど、 Octave の関数 givens は, 2…

楕円の中心

x := [x y 1]' とする. 楕円 E=0 が, E := x'*A*x + 2b'*x + c の形であたえられていた場合, その中心座標 o は o = −A^(−1)*b で計算できる。 3次元的解釈 x'*E*x = 0 で, x := [x y z] とすると, 以上の計算は, E が原点を頂点にもつ 3 次元空間の 2次曲面…

線型変換の null space の基底

線形変換 A (∈ R^{m×n}) において、 m Null(A) := { x | Ax = 0 }で定義される。 その基底 んで、この空間の基底を求めるには、 A の特異値分解 (SVD) A = U[]Σ[]V⊤ の特異値 0 に対応する右特異ベクトルを計算すればいい。特異値分解 - Wikipedia Octave nu…

立体角と開き角

Mathworld 調べたけど見つからなかったので、自分で計算しようとも思ったが面倒なのでやめた。 が、ちょっと調べたらすぐ見つかった。θ[rad] の開き角の立体角 Ω[sr] は Ω = 2π(1−cos θ) 案外簡単な式だ。

球面上のコンボリューション

球面上で定義された関数 f, g の畳み込みは を計算すればいいらしい。x は |x|=1 で,その球面座標を (ϕ,θ) とする。 n は北極の座標 [0 0 1]' = (*,0)。 ここで、 と分解するとき, dR = sin(θ)dϕdθdψ となるらしい。うーん、なんか本でちゃんと調べよう…。…

Geometric Algebra

Dagstuhl に行ったときに聞いた geometric algebra (GA) の話だが、 Clifford 代数と呼ばれるものの一種(応用?幾何学的解釈?)らしい。 この GA を視覚化するツールが、 GAViewer で、 http://www.science.uva.nl/ga/ から DL 可能。この研究室(?)の L…

転置積再び

id:DOSEI:20060620:p1 の続き一般にベクトル a = [a_0, ..., a_{n−1}] に対して A = aa' があって, A から a を(符号の不定性を除いて)復元するには 絶対値の計算 b_i = sqrt(A_{ii}) for all i 符号の決定 b_{i−1} の符号が決まっているとき, b_i の符号…

球面上の大円

法線が n := (θ, φ) = [sinθcosφ sinθsinφ cosθ]⊤ の大円をパラメタ形式で表すと, R(θ, φ) [cos(t) sin(t) 0]⊤ より, [x] [ cos(θ)cos(φ)cos(t)−sin(θ)sin(t) ] [y]=[ cos(θ)sin(φ)cos(t)+cos(φ)sin(t) ] [z] [−sin(θ)cos(t) ] Gnuplot で描画する例 set par…

球面上の回転

北極を指すベクトル (0, *) = [0 0 1]⊤ を (θ, φ) = [sinθcosφ sinθsinφ cosθ]⊤ にむかせるような球面上の点変換は R(θ, φ) := Rz(φ)Ry(θ) で求まり、以下のようになる。 [ cos(θ)cos(φ) −sin(θ) sin(θ)cos(φ) ] [ cos(θ)sin(φ) cos(φ) sin(θ)sin(φ) ] [−sin…

回転行列と回転ベクトル

Rotation Matrix -- from Wolfram MathWorld 3次元空間の回転行列 (rotation matrix) Rとは 3×3 直交行列 (inv(R)=R'; R*R' = R'*R = I) プライムは転置ね。 det R = 1 *1 を満たす実行列. この集合 (この行列の作用による線型変換の集合) が 3 次の特殊直交…

転置積の逆変換(謎

a := [a b c]⊤ にたいして A := aa⊤ は対称行列になる. A から a を求めるには?(ただし, a の −1 倍の不定性は無視するとする) A の対角要素 diag(A) = [α β γ] は a の要素の平方。これらの平方根の符号が求められればいい.上三角行列の要素 A_12 = ab, …

球面上の三角形に対する内外判定(内部判定、包含判定)

球面上の三角形の内外判定をしたかったのだが、とりあえず適当に思いついたアルゴリズム。 球面三角形を 3 つの単位ベクトル a[0], a[1], a[2] であらわす。ただし、この順で、外から見て半時計回りになっていると仮定。また、それぞれ90度以下の角をなして…

正定値性判定

行列 A が正定値であるとは A の二次形式 A[x]:=xTAx に対して A[x]>0 が任意の x!=0 について成り立つ のことで、これは A の固有値がすべて正 と同値。しかし、判定は難しい。 ホーム | 九州大学情報基盤研究開発センター

座標変換

ある空間の座標系1(例えばワールド座標) から座標系2(例えばカメラ座標)に変換することを考える。 平行移動後、回転 座標系 1 と 2 の関係が、 座標系 1 を並進 t で平行移動し、その後、各軸を回転 R−1 によって、座標系2 に重なる ただし、t は座標系1…