極座標における偏微分可能性

平面上の極座標 (r, θ) を考えたとき、 r は半閉区間 [0, ∞) で定義される。
C1 級関数 f は、極 r = 0 で r による偏微分は可能なのだろうか。つまり、 ∂_rf(0,θ) は存在するのか？
そもそも、偏微分可能性は、両側偏微分が等しいのが条件。だとすると、端点が閉なので微分できないジャン。

…という議論はどこかに書いてあるんだろうか。見つからん。